Complex Function and Integral Transform

  1. 1. 介绍
  2. 2. 复数
    1. 2.1. 复数及其表示
    2. 2.2. 复数四则运算
    3. 2.3. 复数几何表示
    4. 2.4. 复数三角表示
    5. 2.5. 复数指数形式
    6. 2.6. 复数的乘幂与方根
    7. 2.7. 无穷远点与复球面
    8. 2.8. 平面点集的一般概念
      1. 2.8.1. 领域
      2. 2.8.2. 复平面上的曲线
  3. 3. 复变函数
    1. 3.1. 复变函数的极限
    2. 3.2. 复变函数的连续性
    3. 3.3. 复变函数的导数
  4. 4. 解析函数
    1. 4.1. 解析函数充要条件
    2. 4.2. 调和函数
    3. 4.3. 指数函数
    4. 4.4. 对数函数
    5. 4.5. 三角函数
    6. 4.6. 双曲函数
  5. 5. 复变函数的积分
    1. 5.1. 柯西积分定理
    2. 5.2. 路径无关性
    3. 5.3. 原函数
      1. 5.3.1. Newton-Leibniz公式
    4. 5.4. 柯西积分公式
    5. 5.5. 平均值公式
    6. 5.6. 最大模定理
    7. 5.7. 高阶导数
    8. 5.8. 柯西不等式
    9. 5.9. 刘维尔定理
  6. 6. 解析函数的级数表示
    1. 6.1. 复数项级数
    2. 6.2. 复变函数项级数
    3. 6.3. 幂级数
      1. 6.3.1. 收敛圆
      2. 6.3.2. 收敛半径
      3. 6.3.3. 幂级数性质
    4. 6.4. 泰勒级数
      1. 6.4.1. 常见展开式
    5. 6.5. 洛朗级数
      1. 6.5.1. 洛朗级数的展开
    6. 6.6. 复闭路积分
      1. 6.6.1. 孤立奇点
      2. 6.6.2. 零点
  7. 7. 留数及其应用
    1. 7.1. 留数定理
    2. 7.2. 无穷远点的留数
    3. 7.3. 留数应用
  8. 8. 共形映射
    1. 8.1. 分式线性映射
    2. 8.2. 分式线性映射特性
    3. 8.3. 其他函数映射
  9. 9. 傅里叶变换
    1. 9.1. 傅里叶变换的概念
    2. 9.2. 傅里叶级数
      1. 9.2.1. 傅里叶级数的三角形式
      2. 9.2.2. 傅里叶级数的指数形式
      3. 9.2.3. 傅里叶级数的物理意义
    3. 9.3. 傅里叶积分公式
    4. 9.4. 单位冲激函数
    5. 9.5. 傅里叶变换的性质
    6. 9.6. 卷积与卷积定理
  10. 10. 拉普拉斯变换
    1. 10.1. 拉普拉斯变换的概念
    2. 10.2. 拉普拉斯变换的性质
    3. 10.3. 拉普拉斯逆变换
    4. 10.4. 拉普拉斯变换的应用及综合举例
  11. 11. 参考文献

复变函数的理论和方法应用于微分方程,解析函数论,概率统计,计算数学,微分几何,拓补学等等
在自然科学领域中的理论物理,空气动力学,流体力学。弹性力学,地质学。自动控制都有应用。

介绍

这里主要介绍Cauchy, Riemann, Weierstrass三位数学家在函数论方面的古典理论及其简单应用,也简单介绍了2种积分变换,即傅里叶变换和拉普拉斯变换

  • Cauchy的工作是从一个区域内单值可导的复变函数出发,建立了其著名的积分定理与公式
  • Riemann的工作是从几何方面出发,奠定了复变函数的集合理论基础,给出了共形映射的基本定理和调和函数的物理解释
  • Weierstrass的工作是从泰勒级数及其解析开拓所定义的函数出发,并尽可能系统地利用泰勒级数研究其性质

复数

复数及其表示

z=x+iyz = x + iy

称为复数,其中 ii 为虚数单位,并规定 i2=i×i=1i^2 = i \times i = -1,或 i=1i = \sqrt{-1}x,yRx, y \in \mathbb{R}

  • 实部:Rez=x(Real Part)\text{Re}z = x(\text{Real Part})
  • 虚部:Lmz=x(Imaginary Part)\text{Lm}z = x(\text{Imaginary Part})

性质

  • z1=z2x1=x2,y1=y2z_1 = z_2 \Leftrightarrow x_1 = x_2, y_1 = y_2
  • z=0x=y=0z = 0 \Leftrightarrow x = y = 0

复数四则运算

加法

z1+z2=(x1±x2)+i(y1±y2)z_1 + z_2 = (x_1 \pm x_2) + i(y_1 \pm y_2)

乘法

z1z2=(x1x2y1y2)+i(x1y2+x2y1)z_1z_2 = (x_1x_2 - y_1y_2) + i(x_1y_2 + x_2y_1)

除法

z1z2=x1x2+y1y2x22+y22+ix2y1x1y2x22+y22\frac{z_1}{z_2} = \frac{x_1x_2 + y_1y_2}{x_2^2 + y_2^2} + i\frac{x_2y_1 - x_1y_2}{x_2^2 + y_2^2}

复数几何表示

共轭复数z=x+iyz = x + iy 的共轭复数为 xiyx - iy,它们以 x=0x = 0 对称
复数的长度: z=x2+y2|z| = x^2 + y^2

  • z=z|z| = |\overline{z}|
  • zz=z2z\overline{z} = |z|^2
  • z=z\overline{\overline{z}} = z
  • 如果zz是实数:z=zz = \overline{z}

Rez=z+z2Imz=zz2i\text{Re}z = \frac{z + \overline{z}}{2} \quad \text{Im}z = \frac{z - \overline{z}}{2i}

z1±z2=z1±z2z1z2=z1z2z2z1=z2z1\overline{z_1 \pm z_2} = \overline{z_1} \pm \overline{z_2} \quad \overline{z_1\cdot z_2} = \overline{z_1} \cdot \overline{z_2} \quad \overline{\frac{z_2}{z_1}} = \frac{\overline{z_2}}{\overline{z_1}}

复数三角表示

z=x+iy{x=rcosθy=rsinθ=r(cosθ+isinθ)\begin{aligned} z &= x + iy \rightarrow \begin{cases} x = r\cos\theta \\ y = r\sin\theta \end{cases} \\ &= r(\cos\theta + i\sin\theta) \end{aligned}

  • z1z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]z_1 \cdot z_2 = r_1r_2[\cos(\theta_1 + \theta_2) + i\sin(\theta_1 + \theta_2)]
  • z1z2=r1r2[cos(θ1θ2)+isin(θ1θ2)]\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2}[\cos(\theta_1 - \theta_2) + i\sin(\theta_1 - \theta_2)]

复数指数形式

欧拉公式

eix=cosx+isinx\color{blue}{e^{ix} = \cos x + i \sin x}

从而可以得到

z=r(cosθ+isinθ)=reiθ\begin{aligned} z &= r(\cos\theta + i\sin\theta) \\ &= r \cdot e^{i\theta} \end{aligned}

θ\theta 的值为 zz辐角,记为 argz\arg zargz=θ+2nπ\arg z = \theta + 2n\pi

  • z1z2=r1r2ei(θ1+θ2)z_1 \cdot z_2 = r_1r_2e^{i(\theta_1 + \theta_2)}
  • z1z2=r1r2ei(θ1θ2)\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2}e^{i(\theta_1 - \theta_2)}

复数的乘幂与方根

zn=rn(cosnθ+isinnθ)=rneinθ\begin{aligned} z^n &= r^n(\cos n\theta + i\sin n\theta) \\ &= r^ne^{in\theta} \\ \end{aligned}

zn=1zn=1rn(cosnθisinnθ)z^{-n} = \frac{1}{z^n} = \frac{1}{r^n} (\cos n\theta - i\sin n\theta)

nz=r1n(cosθn+isinθn)=nr(cosθ+2kπn+isinθ+2kπn)\begin{aligned} ^n\sqrt{z} &= r^{\frac{1}{n}}(\cos \frac{\theta}{n} + i\sin\frac{\theta}{n}) \\ &= ^n\sqrt{r} (\cos \frac{\theta + 2k\pi}{n} + i\sin\frac{\theta + 2k\pi}{n}) \end{aligned}

nn 个根的几何意义为以原点为中心,nn^n\sqrt{n} 为半径的内接正 nn 边形的顶点

无穷远点与复球面

全部复数中,没有一个数和 00 相乘其积异于0,所以不存在一个属于被0所除的商,引入 \infty,称为无穷大

=10\infty = \frac{1}{0}

  • a+=+a=a + \infty = \infty + a = \infty
  • a=\infty - a = \infty
  • a=a - \infty = -\infty
  • a=a=a \cdot \infty = \infty \cdot a = \infty
  • a=0\frac{a}{\infty} = 0
  • a=\frac{\infty}{a} = \infty

在复平面上,没有一个点和 \infty 对应,但是可以设想有一个理想点和它对应,称为无穷远点,平面上所有直线都通过无穷远点(黎曼球面

平面点集的一般概念

领域

平面上以 z0z_0 为中心,δ\delta 为半径的圆,表示为

zz0<δ|z - z_0| < \delta

称它为 z0z_0 的领域,记作 U(z0,δ)U(z_0, \delta),称 0<zz0<δ0 < |z - z_0| < \delta 所确定的点集为 z0z_0 的去心领域
z0=z_0 = \inftykk为任意正数,满足z>k|z|>k的点称为无穷远点的领域

  • 内点:如果 δ>0\exist \delta > 0,使得 U(z0,δ)GU(z_0, \delta) \subset G,那么称 z0z_0 为集 GG 的内点
  • 开集:如果集 GG 中的每个点都是它的内点,那么称集 GG 为开集
  • 余集:平面上不属于 GG 的点的全体称为 GG 的余集,记为 GcG^c
  • 内集:开集的余集称为闭集
  • 边界点z0z_0 是一点,若在 z0z_0 的任意领域既有 GG 的点也有 GcG^c 的点,则为边界点
  • 边界GG 的边界点全体称为 GG 的边界
  • 孤立点z0Gz_0 \in G,若在 z0z_0 的领域内除 z0z_0 外不含G的点,则称 z0z_0 是G的一个孤立点
    • 孤立点一定是一个边界点
  • 有界集:如果存在一个以 z=0z = 0 为中心的圆盘包含 GG
  • 无界集:如果不存在一个以 z=0z = 0 为中心的圆盘包含 GG
  • 连同集:设 DD 为一点集,对 DD 中任意两点可用一条全部属于 DD 的折现连接起来,则 DD 称为联通集
  • 区域
    • DD 是开集
    • DD 是连同的
    • 区域是开集
  • 闭区域:区域 DD 与它的边界一起构成的

复平面上的曲线

z=a(cost+isint)(0t2π)z = a(\cos t + i\sin t) \quad (0 \leq t \leq 2\pi)

圆周

z=a|z| = a

连通 z1z_1z2z_2 的直线段

z=z1+(z2z1)t(0t1)z = z_1 + (z_2 - z_1)t \quad (0 \leq t \leq 1)

  • 光滑曲线:如果在区间 atba \leq t \leq bx(t)x'(t)y(t)y'(t) 都是连续的,且对于 tt 的每一个值,有 x(t)2+y(t)20x'(t)^2 + y'(t)^2 \neq 0
  • 重点:满足 a<t1<b,a<t1<ba < t_1 < b,a < t_1 < b,当 t1t2t_1 \neq t_2z(t1)=z(t2)z(t_1) = z(t_2) 时,点 z(t1)z(t_1) 称为曲线 CC 的重点
  • 简单曲线:没有重点的连续曲线
  • 简单闭合曲线:闭合的简单曲线

复变函数

设有一复数 z=x+iyz = x + iy 的集合 GG,如果有一个确定的法则存在,对于集合 GG 中的每一个复数 zz,按照这一法则,复数 w=u+ivw = u + iv 就随之而定,那么称 ww 是复变数 zz 的函数,简称复变函数,记为 w=f(z)w = f(z)

w=u+iv=f(z)(z=x+iy){u=u(x,y)v=v(x,y)\begin{gathered} w = u + iv = f(z) \quad (z = x + iy) \\ \Downarrow \\ \begin{cases} u = u(x, y) \\ v = v(x, y) \end{cases} \end{gathered}

把函数 w=f(z)w = f(z) 的定义集合 GG 看成是 zz 平面上的一个点集合,而把函数值集合 DD 看成是 ww 平面上的一个点集合,那么函数 w=f(z)w = f(z) 在集合上就可用看成是把集合 GG 变到 DD 的一个映射

f(z)f(z) 将G中的点 zz 映射到 DD 中的 ww,即集 GG 映射为集 DD,则称点 ww 为点 zz 的像,点 zz 为点 ww 的原像,同样称 DDGG 的像,GGDD 的原像

复变函数就是把点集进行映射为好研究的形状进行研究

复变函数的极限

设函数 w=f(z)w = f(z) 定义在 z0z_0 的领域 0<zz0<ρ0 < |z - z_0| < \rho 内,总有一确定数 AA 存在,ε>0\forall \varepsilon > 0,相应地必有整数 δ(ε)\delta(\varepsilon),使得 0<zz0<ρ0 < |z - z_0| < \rho 时,f(z)A<ε|f(z) - A| < \varepsilon,则称 AAf(z)f(z)zz 趋向 z0z_0 时的极限,记为

limzz0f(z)=A\lim_{z \rightarrow z_0} f(z) = A


f(z)=u(x,y)+iv(x,y)f(z) = u(x, y) + iv(x, y)A=a+bi,z0=x0+iy0A = a + bi, z_0 = x_0 + iy_0limzz0f(z)=A\lim_{z \rightarrow z_0}f(z) = A 的充要条件为

limxx0,yy0u(x,y)=alimxx0,yy0v(x,y)=b\lim_{x \rightarrow x_0, y \rightarrow y_0} u(x, y)= a \quad \lim_{x \rightarrow x_0, y \rightarrow y_0} v(x, y) = b

可以把求复变函数的极限转化为求两个二元实变量函数的极限

  • limzz0f(z)=A\lim_{z \rightarrow z_0} f(z) = A
  • limzz0g(z)=B\lim_{z \rightarrow z_0} g(z) = B
    • limzz0[f(z)+g(z)]=A+B\lim_{z \rightarrow z_0}[f(z) + g(z)] = A + B
    • limzz0f(z)g(z)=AB\lim_{z \rightarrow z_0}f(z)g(z) = AB
    • limzz0f(z)g(z)=AB\lim_{z \rightarrow z_0}\frac{f(z)}{g(z)} = \frac{A}{B}

复变函数的连续性

limzz0f(z)=f(z0)\lim_{z \rightarrow z_0} f(z) = f(z_0),则称 f(z)f(z)z0z_0 处连续

f(z)f(z)在区域 DD 内处处连续,则称 f(z)f(z)DD 内连续

  • z0z_0 这点要有定义
  • z0z_0 这点的极限值要存在
  • z0z_0 这点的极限值要等于在这一点的函数值
定理

函数 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)f(z) = u(x, y) + iv(x, y)z0=x0+iy0z_0 = x_0 + iy_0 处连续的充要条件为 u(x,y)u(x, y)v(x,y)v(x, y)(x0,y0)(x_0, y_0) 处连续

定理

连续函数的和,差,积,商,仍然时连续函数,连续函数的复合函数还是连续的

复变函数的导数

w=f(z)w = f(z) 定义于区域 DDz0,z0+ΔZDz_0, z_0 + \Delta Z \in D,如果

limΔz0ΔWΔZ=limΔz0f(z0+Δz)f(z0)Δz\lim_{\Delta z \rightarrow 0}\frac{\Delta W}{\Delta Z} = \lim_{\Delta z \rightarrow 0}\frac{f(z_0 + \Delta z) - f(z_0)}{\Delta z}

存在,则称 f(z)f(z)z0z_0 处可导,极限值称为 f(z)f(z)z0z_0 的导数

在一点可导和在一点可微是等价的

  • 连续不一定可导

  • 可导一定连续

  • C=0C' = 0

  • (f(z)±g(z))=f(z)±g(z)(f(z) \pm g(z))' = f'(z) \pm g'(z)

  • (f(z)g(z))=f(z)g(z)+f(z)g(z)(f(z)g(z))' = f'(z)g(z) + f(z)g'(z)

  • f(z)g(z)=f(z)g(z)f(z)g(z)g2(z)\displaystyle \frac{f(z)}{g(z)}' = \displaystyle\frac{f'(z)g(z) - f(z)g'(z)}{g^2(z)}

  • f(g(z))=f(w)g(z)f(g(z))' = f'(w)g'(z)

  • f(z)=1φ(w)f'(z) = \frac{1}{\varphi'(w)},其中 w=f(z)w = f(z)z=φ(w)z = \varphi(w) 互为单只反函数

解析函数

  • f(z)f(z)z0z_0z0z_0 的领域内处处可导,则称 f(z)f(z)z0z_0 解析
  • f(z)f(z) 在区域 DD 内每一点解析,则称 f(z)f(z) 在区域 DD 内解析,或称 f(z)f(z) 是区域 DD 内的一个解析函数
  • f(z)f(z)z0z_0 处不解析,则称 z0z_0f(z)f(z) 的奇点

解析 > 可导 > 连续 > 极限,解析要求这一点以及某个领域可导

  • 函数 f(z)f(z) 在点 zz 解析就是函数 f(z)f(z) 在以点 zz 为圆心的某个领域内可微
  • 两个解析函数的和,差,积,商都是解析函数,解析函数的复合函数仍是解析
  • 所有多项式在复平面上是处处解析的
  • 任意的一个有理函数 p(z)q(z)\frac{p(z)}{q(z)}(均为多项式)在不含分母为零的点的区域是解析函数

解析函数充要条件

w=f(z)=u(x,y)=iv(x,y)w = f(z) = u(x, y) = iv(x, y)柯西-黎曼方程

ux=vyuy=vx\color{blue}{\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \qquad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}}

函数 w=f(z)=u(x,y)=iv(x,y)w = f(z) = u(x, y) = iv(x, y)z=x+iyz = x + iy 处可导的充分必要条件是

  • u(x,y)u(x, y)v(x,y)v(x, y) 在点 (x,y)(x, y) 处可微
  • 满足柯西-黎曼方程

函数 w=f(z)=u(x,y)=iv(x,y)w = f(z) = u(x, y) = iv(x, y) 在区域 DD 内解析的充要条件是

  • u(x,y)u(x, y)v(x,y)v(x, y)DD 内任一点 z=x+iyz = x + iy 处可微
  • 满足柯西-黎曼方程

u(x,y)u(x, y) 是一个二元函数,说它可微,指的是它的增量函数可以表示为两部分

  • 自变量的线性部分
  • 自变量的高阶无穷小部分

Δu=uxΔx+uyΔy+ρ(Δx2+Δy2)limΔx0,Δy0ρ=0\Delta u = \frac{\partial u}{\partial x}\Delta x + \frac{\partial u}{\partial y}\Delta y + \rho(\sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}) \quad \lim_{\Delta x \rightarrow 0, \Delta y \rightarrow 0} \rho = 0

则称 u(x,y)u(x, y) 可微

调和函数

如果二元实函数 φ(x,y)\varphi(x, y) 在区域 DD 内有二阶连续偏导数,且满足拉普拉斯方程

2φx2+2φy2=0\color{blue}{\frac{\partial^2\varphi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \varphi}{\partial y^2} = 0}

则称 φ=φ(x,y)\varphi = \varphi(x, y) 为区域 DD 内的调和函数,或称函数 φ(x,y)\varphi(x, y) 在区域 DD 内调和

定理

如果 f(z)=u+ivf(z) = u + iv 在区域 DD 内解析,则 uuvvDD 内都是调和函数

φ(x,y)\varphi(x, y)ψ(x,y)\psi(x, y)均为区域 DD 内的调和函数,且满足柯西-黎曼方程

φx=ψyψx=ψy\frac{\partial \varphi}{\partial x} = \frac{\partial\psi}{\partial y} \qquad \frac{\partial\psi}{\partial x} = -\frac{\partial \psi}{\partial y}

则称 ψ(x,y)\psi(x, y)φ(x,y)\varphi(x, y) 的共轭调和函数

f(z)=x+iyf(z) = x + iy 如果在整个复平面上是解析的,也知道它的虚部 yy 也是实部 xx 的共轭调和

定理

复变函数 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)f(z) = u(x, y) + iv(x, y) 在区域 DD 内解析的充分必要条件是:在区域 DD 内,f(z)f(z) 的虚部 v(x,y)v(x, y) 是实部 u(x,y)u(x, y) 的共轭调和

指数函数

ez=expz=ex(cosy+isiny)\color{blue}{e^z = \exp z = e^x(\cos y + i\sin y)}

复指数函数

此处的 ee 是复指数函数的专用记号

  • eze^z 是单值函数
  • z,ez0\forall z,e^z \neq 0
  • z1=x1+iy1,z2=x2+iy2\forall z_1 = x_1 + iy_1, z_2 = x_2 + iy_2,有 ez1+z2=ez1ez2e^{z_1 + z_2} = e^{z_1}e^{z_2}
  • ez+2kπi=eze^{z + 2k\pi i} = e^z
  • eze^z 是处处解析的

对数函数

expw=ew=z\exp w = e^w = z,则称 wwzz 的对数函数,记为

w=f(z)=Lnz\color{blue}{w = f(z) = \text{Ln}z}

  • 多值性:设 z=reiθz = re^{i\theta}w=u+ivw = u + iv,有 ew=reiθe^w = re^{i\theta},即 eu+iv=eueiv=rei(argz+2kπ)=rei(θ+2kπ)e^{u + iv} = e^ue^{iv} = re^{i(\arg z + 2k\pi)} = re^{i(\theta + 2k\pi)}
    • w=Lnz=lnr+i(θ+2kπ)w = \text{Ln}z = \ln r + i(\theta + 2k\pi)
  • Lnz1z2=Lnz1+Lnz2\text{Ln}z_1z_2 = \text{Ln}z_1 + \text{Ln}z_2
  • Lnz1z2=Lnz1Lnz2\text{Ln}\displaystyle\frac{z_1}{z_2} = \text{Ln}z_1 - \text{Ln}z_2

三角函数

cosz=eiz+eiz2sinz=eizeiz2i\color{blue}{\cos z = \frac{e^{iz} + e^{-iz}}{2} \qquad \sin z = \frac{e^{iz} - e^{-iz}}{2i}}

  • 在复平面解析
    • sinz=cosz\sin z' = \cos z
    • cosz=sinz\cos z' = -\sin z
  • 奇偶性实函数
  • 周期性以 2π2\pi 为周期
  • 无界性
  • 恒等关系
    • sin2z+cos2z=1\sin^2z + \cos^2z = 1
    • sin(z1±z2)=sinz1cosz2±cosz1sinz2\sin(z_1 \pm z_2) = \sin z_1\cos z_2 \pm \cos z_1 \sin z_2
    • cos(z1±z2)=cosz1cosz2sinz1sinz2\cos(z_1 \pm z_2) = \cos z_1\cos z_2 \mp \sin z_1 \sin z_2

双曲函数

shz=ezez2chz=ez+ez2thz=shzchz=ezezez+ez\color{blue}{\sh z = \frac{e^z - e^{-z}}{2} \qquad \ch z = \frac{e^z + e^{-z}}{2} \qquad \th z = \frac{\sh z}{\ch z} = \frac{e^z - e^{-z}}{e^z + e^{-z}}}

  • shz=isiniz\sh z = -i \sin iz
    • shz=chzsh z' = \ch z
    • 周期:2πi2\pi i
  • chz=cosiz\ch z = \cos iz
    • chz=shzch z' = \sh z
    • 周期:2πi2\pi i
  • thz=itaniz\th z = -i \tan iz
    • 周期:πi\pi i

复变函数的积分

Cf(z)dz=limλ0k=1nf(ςk)Δzk\int_C f(z)\mathrm{d}z = \lim_{\lambda \rightarrow 0}\sum^n_{k=1}f(\varsigma_k)\Delta z_k

  • Cf(z)dz\int_{C^-}f(z)\mathrm{d}z:沿曲线 CC 的负方向积分
  • Γf(z)dz\oint_\Gamma f(z)\mathrm{d}z:沿闭曲线 Γ\Gamma 的积分

复积分的性质

  • C[af(z)+βg(z)]dz=aCf(z)dz+βCg(z)dz\int_C [af(z) + \beta g(z)]\mathrm{d}z = a \int_C f(z)\mathrm{d}z + \beta \int_C g(z)\mathrm{d}z
  • Cf(z)dz=Cf(z)dz\int_C f(z)\mathrm{d}z = -\int_{C^-}f(z)\mathrm{d}z
  • Cf(z)dz=c1f(z)dz+C2f(z)dz\int_C f(z)\mathrm{d}z = \int_{c_1}f(z)\mathrm{d}z + \int_{C_2}f(z)\mathrm{d}z
    • C=C1+C2C = C_1 + C_2
  • Cf(z)dzCf(z)dz=Cf(z)dsML|\int_C f(z)\mathrm{d}z| \leq \int_C |f(z)||\mathrm{d}z| = \int_C |f(z)|\mathrm{d}s \leq ML
    • M=maxzCf(z)M = \max_{z \in C}|f(z)|

例:

I=Cdz(zz0)nCzz0=rI = \oint_C \frac{\mathrm{d}z}{(z - z_0)^n} \quad C \Rightarrow |z - z_0| = r

曲线 CC 的方程为 z=z0+reiθz = z_0 + re^{i\theta}

I=02πreiθi(reiθ)ndθ=irn102πei(1n)θdθ\begin{aligned} I &= \int^{2\pi}_0 \frac{re^{i\theta}i}{(re^{i\theta})^n}\mathrm{d}\theta \\ &= \frac{i}{r^{n-1}}\int^{2\pi}_0 e^{i(1-n)\theta}\mathrm{d}\theta \end{aligned}

  • n=1n = 1I=2πiI = 2\pi i
  • n1n \neq 1I=0I = 0

柯西积分定理

设函数 f(z)f(z) 在单连通域 DD 内解析,Γ\GammaDD 内的任意一条简单闭曲线,则有

Γf(z)dz=0\oint_\Gamma f(z)\mathrm{d}z = 0

设单连域 DD 的边界为 CC,函数 f(z)f(z)DD 内解析,在 D=D+C\overline{D} = D + C 上连续,则有

Γf(z)dz=0\oint_\Gamma f(z)\mathrm{d}z = 0

设二连域 DD 的边界为 C=C1+C2C = C_1 + C_2^-,函数 f(z)f(z)DD 内解析,在 D\overline{D} 上连续,则 Cf(z)dz=0\oint_C f(z)\mathrm{d}z = 0

C1f(z)dz=C2f(z)dz\oint_{C_1} f(z)\mathrm{d}z = \oint_{C_2} f(z)\mathrm{d}z

设多连域的边界为 C=C0+C1+C2++CnC = C_0 + C_1^- + C_2^- + \cdots + C_n^-,函数 f(n)f(n)DD 内解析,在 D\overline{D} 上连续,则

Cf(z)dz=0\oint_C f(z)\mathrm{d}z = 0

或者

C0f(z)dz=C1f(z)dz+C2f(z)dz++Cnf(z)dz\oint_{C_0} f(z)\mathrm{d}z = \oint_{C_1} f(z)\mathrm{d}z + \oint_{C_2} f(z)\mathrm{d}z + \cdots + \oint_{C_n} f(z)\mathrm{d}z

一个闭区域的复积分为里面的奇点函数值之和

路径无关性

设函数 f(z)f(z) 在单连通域 DD 内解析,C1,C2C_1, C_2DD 内的任意两条从 z0z_0z1z_1 的简单曲线,则有

C1f(z)dz=C2f(z)dz\int_{C_1} f(z)\mathrm{d}z = \int_{C_2}f(z)\mathrm{d}z

z0z_0 出发,沿 C1C_1 正向走到 z0z_0

原函数

设在单连域 DD 内,函数 F(z)F(z) 恒满足条件 F(z)=f(z)F'(z) = f(z),则 F(z)F(z) 称为 f(z)f(z)DD 内的一个原函数

f(z)dz=F(z)+c\int f(z)\mathrm{d}z = F(z) + c

Newton-Leibniz公式

f(z)f(z) 在单连域 DD 内处处解析,G(z)G(z)f(z)f(z) 的原函数,则

z0z1f(z)dz=G(z1)G(z0)\int_{z_0}^{z_1}f(z)\mathrm{d}z = G(z_1) - G(z_0)

柯西积分公式

如果函数 f(z)f(z) 在连续区域 DD 内解析,在 DD 的闭包上连续,z0Dz_0 \in D,则

f(z0)=12πiCf(z)zz0dzf(z_0) = \frac{1}{2\pi i} \oint_C \frac{f(z)}{z - z_0}\mathrm{d}z

解析函数在其解析区域的值完全由边界上的值确定,换句话说,解析函数可用其解析区域边界上的值以一种特定的积分形式表现出来

应用:反过来计算积分:Cf(z)zz0dz=2πif(z0)\oint_C \frac{f(z)}{z - z_0}\mathrm{d}z = 2\pi i f(z_0)

例子:

I=C2z1z2zdzI = \oint_C \frac{2z - 1}{z^2 - z}\mathrm{d}z

f(z)=2z1z2zdzf(z) = \frac{2z - 1}{z^2 - z}\mathrm{d}z,解得

I=C1f(z)dz+C2f(z)dz=C12z1z1zdz+C12z1zz1dz=2πi(2z1z1z=0+2z1zz=1)=4πi\begin{aligned} I &= \oint_{C_1}f(z)\mathrm{d}z + \oint_{C_2}f(z)\mathrm{d}z \\ &= \oint_{C_1}\frac{\frac{2z - 1}{z - 1}}{z}\mathrm{d}z + \oint_{C_1}\frac{\frac{2z - 1}{z}}{z - 1}\mathrm{d}z \\ &= 2\pi i (\frac{2z- 1}{z -1}|_{z = 0} + \frac{2z - 1}{z}|_{z = 1}) \\ &= 4\pi i \end{aligned}

平均值公式

如果函数 f(z)f(z)zz0<R|z-z_0| < R 内解析,在 zz0R|z - z_0| \leq R 上连续,则有

f(z0)=12π02πf(z0+Reiθ)dzf(z_0) = \frac{1}{2\pi} \int^{2\pi}_0 f(z_0 + Re^{i\theta})\mathrm{d}z

函数 f(z)f(z) 在圆心处的函数值 = 函数在圆周上的算数平均值

最大模定理

如果函数 f(z)f(z)DD 内解析,且不为常数,则在 DDf(z)|f(z)| 没有最大值

  • 在区域 DD 内解析的函数,如果其模在 DD 内达到最大值,则此函数比恒为常数
  • f(z)f(z) 在有界区域 DD 内解析,在 D\overline{D} 上连续,则 f(z)|f(z)|DD 的边界上必能达到最大值

高阶导数

如果函数 f(z)f(z) 在区域 DD 内解析,在 D=D+C\overline{D} = D + C 上连续,则 f(z)f(z) 的各阶导数均在 DD 上解析,且

f(n)(z)=n!2πiCf(ς)(ςz)n+1dz(zD)f^{(n)}(z) = \frac{n!}{2\pi i}\oint_C \frac{f(\varsigma)}{(\varsigma - z)^{n+1}}\mathrm{d}z \quad (z \in D)

解析函数的导数仍解析

应用:反过来计算积分

Cf(z)(zz0)n+1dz=2πin!f(n)(z0)\oint_C \frac{f(z)}{(z - z_0)^{n+1}}\mathrm{d}z = \frac{2\pi i}{n!}f^{(n)}(z_0)

柯西不等式

设函数 f(z)f(z)zz0<R|z - z_0| < R 内解析,且 f(z)<M|f(z)| < M,则

f(n)(z0)n!MRn|f^{(n)}(z_0)| \leq \frac{n!M}{R^n}

刘维尔定理

设函数 f(z)f(z) 在全平面上解析且有界,则 f(z)f(z) 为以常数

解析函数的级数表示

znz_n 为复数,称 {Zn}n=1,2,3\lbrace Z_n \rbrace_n = 1,2,3 为复数序列

  • limn+zn=a\lim_{n\rightarrow+\infty}z_n = a: 收敛
  • limn+zn=\lim_{n\rightarrow+\infty}z_n = \infty: 发散

zn=xn+iyn,a=a+iβz_n = x_n + iy_n, a = a + i\beta,则 limn+zn=a\lim_{n\rightarrow+\infty}z_n = a 的充要条件是

{limn+xn=alimn+yn=β\begin{cases} \lim_{n\rightarrow+\infty}x_n = a \\ \lim_{n\rightarrow+\infty}y_n = \beta \end{cases}

复数项级数

n=1+zn=z1+z2,+\sum_{n = 1}^{+\infty} z_n = z_1 + z_2,+ \cdots

复数项级数,简记为 zn\sum z_n,称

k=1nzk=z1+z2++zk\sum_{k = 1}^{n} z_k = z_1 + z_2 + \cdots + z_k

为级数的部分和

  • limn+sn=s\lim_{n\rightarrow +\infty} s_n = s: 级数收敛

zn=xn+iyn,a=a+iβz_n = x_n + iy_n, a = a + i\beta,则 limn+sn=s\lim_{n\rightarrow +\infty} s_n = s 的充要条件是

{xnyn\begin{cases} \sum x_n \\ \sum y_n \end{cases}

都收敛

  • zn\sum |z_n| 收敛,则称 zn\sum z_n 绝对收敛
  • zn\sum |z_n| 发散,zn\sum z_n 收敛,则称 zn\sum z_n 条件收敛
  • zn\sum |z_n| 收敛,则 zn\sum z_n 必收敛

复变函数项级数

  • 复变函数序列:{fn(z)}n=1,2,\lbrace f_n(z) \rbrace_{n=1,2,\cdots}
  • 复变函数项级数:n=1+fn(z)=f1(z)+f2(z)+\sum_{n=1}^{+\infty} f_n(z) = f_1(z) + f_2(z) + \cdots
  • 级数 fn(z)\sum f_n(z) 的部分和:sn(z)=k=1nfk(z)s_n(z) = \sum_{k=1}^n f_k(z)
  • 收敛:limn+sn(z0)=s(z0)\lim_{n \rightarrow +\infty} s_n(z_0) = s(z_0)
  • 在区域 DD 内收敛,称 s(z)s(z) 为和函数,DD 为收敛域

幂级数

n=0+an(za)n=a0+a1(za)+a2(za)2+\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(z - a)^n = a_0 + a_1(z - a) + a_2(z - a)^2 + \cdots

其中 an,aa_n, a 为复常数,当 a=0a = 0 时有

n=0+anzn=a0+a1z+a2z2+\sum_{n=0}^{+\infty}a_nz^n = a_0 + a_1z+a_2z^2+\cdots

对于幂级数 anzn\sum a_n z^n

  • 在0点必收敛
  • 如果级数在 z0z_0 点收敛,则它在 z<z0|z| < |z_0| 上绝对收敛
  • 如果级数在 z1z_1 点发散,则它在 z>z1|z| > |z_1| 上发散

  • n=0+anzn±n=0+bnzn=n=0+(an±bn)zn\sum_{n = 0}^{+\infty}a_nz^n \pm \sum_{n = 0}^{+\infty}b_nz^n = \sum_{n = 0}^{+\infty}(a_n \pm b_n)z^n
  • n=0+anznn=0+bnzn=n=0+(a0bn+a1bn1++anb0)zn\sum_{n = 0}^{+\infty}a_nz^n \cdot \sum_{n = 0}^{+\infty}b_nz^n = \sum_{n = 0}^{+\infty}(a_0b_n + a_1b_{n-1} + \cdot + a_nb_0)z^n

收敛圆

CRC_R 的半径为 RR

  • 称圆域 z<R|z| < R 为收敛圆
  • RR 为收敛半径

级数在收敛圆的边界上各点的收敛情况时不一定的

收敛半径

  • 比值法:如果 limn+an+1an=λ\lim_{n \rightarrow +\infty}\frac{|a_{n+1}|}{a_n} = \lambda
    • 收敛半径:R=1λR = \frac{1}{\lambda}
  • 根植法:如果 limn+ncn=ρ\lim_{n\rightarrow +\infty}^n\sqrt{|c_n|} = \rho
    • 收敛半径:R=1ρR = \frac{1}{\rho}

幂级数性质

f(z)=n=0+an(zz0)n,zz0<Rf(z) = \sum^{+\infty}_{n=0}a_n(z - z_0)^n, |z - z_0 < R|,则

  • 函数 f(z)f(z) 在收敛圆 zz0<R|z - z_0| < R 内解析
  • 函数 f(z)f(z) 的导数可由其幂级数逐项求导得到
    • f(z)=n=1+nan(zz0)n1f'(z) = \sum^{+\infty}_{n=1} na_n(z - z_0)^{n-1}
  • 在收敛圆内可以逐项积分,即
    • F(z)=z0zf(z)dz=n=0+ann+1(zz0)n+1F(z) = \int^z_{z_0} f(z)\mathrm{d}z = \sum^{+\infty}_{n=0}\frac{a_n}{n + 1}(z - z_0)^{n+1}

设级数 n=0+anzn\sum^{+\infty}_{n=0}a_nz^nz<R|z| < R 内收敛,和函数为 f(z)=n=0+anznf(z) = \sum^{+\infty}_{n=0}a_nz^n,又设函数 g(n)g(n)z<r|z| < r 内解析,且满足 g(z)<R|g(z)| < R,则当 z<r|z| < r 时,有 f(g(z))=n=0+an(g(z))nf(g(z)) = \sum^{+\infty}_{n=0}a_n(g(z))^n

泰勒级数

泰勒定理:设函数 f(z)f(z) 在区域 DD 内解析,CCDD 的边界,z0Dz_0 \in DR=minzCzz0R = \min_{z \in C}|z - z_0|,则当 zz0<R|z - z_0| < R,有

f(z)=n=0+an(zz0)nan=1n!f(n)(z0)=12πiLf(z)(zz0)n+1dzf(z) = \sum^{+\infty}_{n=0} a^n(z - z_0)^n \quad a_n = \frac{1}{n!}f^{(n)}(z_0) = \frac{1}{2\pi i}\oint_L \frac{f(z)}{(z - z_0)^{n+1}}\mathrm{d}z

  • 幂级数的收敛域必须是圆域
  • 幂级数一旦收敛,其和函数一定解析
  • 对于一个给定的函数,用任何方法展开为幂级数,其结果唯一
  • 函数 f(z)f(z)z0z_0 点展开为泰勒级数,其收敛半径等于从 z0z_0 点到 f(z)f(z) 的最近一个奇点 zz 的距离

在比较小的范围内,泰勒级数无限接近原函数,可以用它近似原函数


  • 直接计算

an=1n!f(n)(0)a_n = \frac{1}{n!}f^{(n)}(0)

常见展开式

11z=n=0+zn=1+z+z2+z3+z<1\frac{1}{1 - z} = \sum^{+\infty}_{n=0}z^n = 1 + z + z^2 + z^3 + \cdots \quad |z| < 1

ez=n=0+znn!=1+z+z22!+z33!+z<+e^z = \sum^{+\infty}_{n=0}\frac{z^n}{n!} = 1 + z + \frac{z^2}{2!} + \frac{z^3}{3!} + \cdots \quad |z| < +\infty

洛朗级数

引入负幂次项,就可能将一个函数在整个复平面上展开(除了奇点所在的圆周)

设函数 f(z)f(z) 在圆环域 D:R1<zz0<R2D: R_1 < |z - z_0| < R_2 内解析,则 f(z)f(z) 一定能再次圆环域中展开为

f(z)=n=+an(zz0)nan=12πiCf(ζ)(ζz0)n+1dζf(z) = \sum^{+\infty}_{n = -\infty}a_n(z - z_0)^n \quad a_n = \frac{1}{2\pi i}\oint_C \frac{f(\zeta)}{(\zeta - z_0)^{n+1}}\mathrm{d}\zeta

CC 是圆环内绕 z0z_0 的任何一条简单闭曲线

  • 正幂次项:解析部分
  • 负幂次项:主要部分
  • 展开项唯一
  • 若在 0zz0<R0 \leq |z - z_0| < R 内解析,则 f(z)f(z) 在此圆环内的洛朗展开式就是泰勒展开式

洛朗级数的展开

在求展开式之前,都需要根据函数的奇点位置,将复平面分为若干个解析环
比如奇点为 z1,z2,z3z_1, z_2, z_3,展开点为 z0z_0 则复平面被分为

  • 0zz0<r10 \leq |z - z_0| < r_1
  • r1<zz0<r2r_1 < |z - z_0| < r_2
  • r2<zz0<r3r_2 < |z - z_0| < r_3
  • r3<zz0<+r_3 < |z - z_0| < +\infty

复闭路积分

  • f(z)f(z)DD 内解析,在 Γ\Gamma 上连续,由柯西积分定理 Γf(z)dz=0\oint_\Gamma f(z)\mathrm{d}z = 0
  • f(z)f(z)DD 内由唯一的奇点 z0z_0,由闭路变形原理:Γf(z)dz=Cf(z)dz\oint_\Gamma f(z)\mathrm{d}z = \oint_C f(z)\mathrm{d}z
    • Cdz(zz0)n={2πin=10n1\oint_C \frac{\mathrm{d}z}{(z - z_0)^n} = \begin{cases} 2\pi i & n = 1\\0 & n\neq 1\end{cases}
    • 则积分 Γf(z)dz=2πic1\oint_\Gamma f(z)\mathrm{d}z = 2\pi i c_{-1}c1c_{-1} 为洛朗展开负一次项系数

孤立奇点

z0z_0 为函数 f(z)f(z) 的奇点,且存在 δ>0\delta > 0 使得 f(z)f(z)z0z_0 的去心领域 0<zz0<δ0 < |z - z_0| < \delta 内解析,则称 z0z_0f(z)f(z)孤立奇点

  • 可去奇点:如果在洛朗级数中不含 zz0z - z_0 的负幂项,则孤立奇点 z0z_0 称为 f(z)f(z) 的可去奇点
  • 极点:如果在洛朗级数中只有有限多个 zz0z - z_0 的负幂项,且其中关于 (zz0)1(z - z_0)^{-1} 的最高负幂次为 mm,则为 mm阶极点
  • 本性奇点:洛朗级数中含有无穷多 zz0z - z_0 的负幂项,则孤立奇点 z0z_0 称为 f(z)f(z) 的本性奇点
    • limzz0f(z)\lim_{z \rightarrow z_0}f(z) 不存在且不为 \infty

零点

  • f(z0)=0f(z_0) = 0